Городской регулярный семинар «Методы моделирования»
Дата: 20 декабря 2006 г. в 15:00 Адрес: ул. Б. Красная, 55 (7 уч. здание КГТУ), аудитория 217
Тема доклада:
Статистика дробных моментов: новый метод количественного «прочтения» произвольной случайной последовательности.
Докладчик – Р.Р.Нигматуллин, д.ф-м.н., проф. кафедры теоретической физики КГУ
Аннотация
Найден статистическийсмысл моментов целого (p=1, 2, ...) и дробного (0 <p < ¥.) порядков, рассчитанных для некоторой случайной
последовательности, содержащей N произвольных точек. Моменты высших порядков позволяют
свести анализируемую случайную последовательность к некоторому конечному набору k статистически устойчивых целых моментов (p =1, 2, ..., k), принадлежащих исходной последовательности.
Найденные условия статистической устойчивости и близости, выраженные в терминах
высших моментов (p = 1, 2,
... , k) позволяют найти k неизвестных устойчивых точек и предсказать возможное
будущее (устойчивое по отношению к прошлому времени) поведение анализируемой
случайной последовательности. Функция обобщенного среднего (ФОС), определяемая
как может быть эффективно использована при анализе статистически
близких случайных последовательностей, содержащих большое число измеренных
точек (N>> 1). Найдены приближенные аналитические
выражения для ФОС для произвольных значений p из интервала (-¥ < p < ¥). Они дают возможность подогнать произвольную случайную последовательность, преобразованную в
пространстве моментов в детерминированную ФОС и выразить количественно исходную случайную последовательность в терминах
некоего "универсального" набора редуцированных (подгоночных)
параметров, входящих в приближенное аналитическое выражение для ФОС. Эти подгоночные параметры могут быть использованы для построения
так называемой калибровочной кривой,
когда возникает необходимость сравнения одной случайной последовательности с
другой по отношению к изменениям некоторого внешнего доминантного фактора
(малого сигнала). Целочисленные моменты легко обобщаются на дробные, и даже комплексные моменты, которые позволяют ввести определение нецелых
моментов и ФОС, содержащие комплексные величины. ФОС может быть также
рассмотрена как функция двух и более переменных для анализа многомерных
случайных последовательностей, содержащей два, три и более независимых индекса. Следует особо подчеркнуть тот факт, что статистика дробных
моментов (СДМ), предлагаемая в этой работе, совершенно свободна от каких либо модельных (априорных) представлений и
предположений о природе случайности и поэтому может быть эффективно использована
для количественного сравнения произвольных случайных последовательностей,
используя для этой цели набор подгоночных параметров, получаемых из сравнения
соответствующих ФОС. Найдено соотношение между величиной дробного
момента и параметром неэкстенсивности q, входящим в обобщенное определение энтропии,
предложенное К. Цаллисом. Для доказательства сверхчувствительности метода,
основанного на статистике дробных моментов (СДМ) рассмотрена важная проблема по
защите пластиковых карточек, товарных знаков и других ценных документов от
подделок. Некоторые поучительные примеры детектирования сверхслабых (S/N = 10-2,
10-3) сигналов, полученных на модельных данных и буквально
"растворенных" в исходной последовательности показывают высокую
эффективность СДМ и могут быть использованы в качестве исходной базы для
дальнейших приложений при сравнении реальных шумов, модифицированных внешним
малым фактором. Анализ реальных данных по диэлектрической спектроскопии,
реализованный в рамках СДМ, предоставляет уникальную возможность для
количественного сравнения каждого отдельного экспериментального измерения и
позволяет выразить влияние нейтральной аддитивной добавки с помощью
калибровочной кривой без детального знания подгоночной функции, которую
невозможно получить для сложных систем в рамках упрощенных моделей.
THE STATISTICS OF HIGHER (FRACTIONAL)
MOMENTS:
NEW METHOD OF QUANTITATIVE "
READING
" OF ANY
ARBITRARY RANDOM SEQUENCE
R.R. Nigmatullin
Theoretical physics department,
Kazan
State
University
,
Kremlevskaya str.18, Kazan, Tatarstan,
Russia.
E-mail:
nigmat@ knet.ru
Abstract
The statistical
meaning of higher (p=1, 2, ...) and fractional (0 <p < ¥.) moments for an
arbitrary random sequence of the length N has been found. The higher moments help to reduce the sequence analyzed to a
finite set of kstatistically stable parameters, keeping invariant the values of
the first kth moments (p =1, 2, ..., k). The conditions of statistical
stability and proximity expressed in terms of higher moments (p = 1, 2, ... ,k) help to find k unknown
stable points and predict possible future behavior of the random sequence
analyzed. The generalized mean value (GMV)- function defined as is turned to be very effective in analysis of statistically
close random sequences or containing large numbers of measured points (N >> 1). The approximate
analytical expression for an arbitrary p value from the range (-¥ < p< ¥) entering into has been found. It
gives a possibility to transform any random sequence to the determined GMV curve and express quantitatively the reduced characteristics of any random sequence
in terms of a ‘universal’ set of the fitting parameters defined by the
determined GMV-function. Statistical proximity factor can be used for
construction of calibration curves,
when it is necessary to compare one random sequence with another one to respect
of variations of some given external factor (small signal). The higher moments
are easily generalized for the fractional and even complex moments. In turn,
the GMV-function can be also generalized and then calculated for 2D and 3D
random sequences. The approach developed in this paper is free from any model assumption and can be
extremely helpful in comparison of different random sequences using for these
purposes the ‘unified’ quantitative language based on introduction of the given
set of fractional moments. The relationship between the value of the fractional
moment and non-extensive parameter q entering into the definition of the non-extensive Tsallis entropy has been
found. A possible model of statistical detection of plastic cards and other
valuable documents demonstrating the effectiveness of the statistics of
fractional moments has been considered. Some instructive examples in detection
of superweak signals embedded into the basic random sequence (S/N = 10-2,
10-3) based on model and real data confirm the effectiveness of new
approach and can serve a new basis for numerous practical applications.
Analysis of dielectric spectroscopy data by means of fractional moments gives
unique possibility to compare quantitatively each measurement with each other and express the influence of a neutral
additive in terms of calibration curve without concrete knowledge of the corresponding fitting function.
Итоги семинара
Доклады Нигматуллина Р.Р. на семинарах «Методы моделирования» имеют теоретическую направленность и вызывают интерес людей науки. В работе семинара приняли участие десять профессоров (трое из КГУ), ведущий научный сотрудник института механики, математики КНЦ РАН, доценты, аспиранты и магистранты технического университета.
После выступления докладчика состоялась дискуссия, в которой высказали свое мнение о научной новизне и ценности полученных результатов профессора КГТУ им. А.Н. Туполева Евдокимов Ю.К., Ильин Г.И., Сиразетдинов Т.К., а также в.н.с. ИММ КНЦ Тукмаков А.Л.
Материал к сообщению «Статистика дробных моментов:…..» подготовлен на английском языке, докладчик выступал на научных семинарах в университетах Турции (Стамбульский технический – март 2005г., Измирский университет – май 2005г., Университет Чанкайа (Анкара) – май 2005 г.) Новизна подхода в данном научном сообщении оценивалась экспертами. Сообщение имеет публикацию: R.R. Nigmatullin. "The statistics of the fractional moments: Is there any chance to read "quantitatively" any randomness?" Journal of Signal Processing, 86 (2006) pp.2529-2547.
Координаты для связи:
Адрес:
ЦНИТ РТ, научно-методический отдел информационных технологий, 7 учебное здание КГТУ (ул. Б. Красная, 55), аудитория 217